データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. A最小全域木を O(E log V) で
  2. Bすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
  3. Cトポロジカル順序を O(V²) で
  4. D1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. Aどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
  2. B決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
  3. C決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  4. D扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
3.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

  1. A再平衡化による O(log n) の高さ
  2. B2 つの子を持つノードが存在しないこと
  3. Cどの場合でも定数時間での探索
  4. Dキーが挿入順に格納されること
4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

  1. Afront と rear を同じ変数に格納する
  2. B要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
  3. Cバッファのサイズを 2 のべき乗にする
  4. Dfront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 15 個の頂点と 15 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 15|E| = 15
k =
6.グラフ理論むずかしい
11171020318114ABCDEF

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

B · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

C · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: A · 再平衡化による O(log n) の高さ

これが答えになる理由

自己平衡木は高さを対数オーダーに保つため、探索・挿入・削除は最悪の場合でも O(log n) です。

答え

A · 再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造

答え: B · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量 を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

B · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論

答え: k = 1

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

15 − 1 = 14

取り除く辺

k = 15 − 14 = 1

答え

k = 1
6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AB (11)
2. BC (10)
3. CE (3)
4. EF (1)
5. DF (18)

辺の番号 3

CE

答え

辺 CE

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