データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) の時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) do O(1) work の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n²)
3.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

  1. A最短経路の探索
  2. Bオートコンプリートなどの接頭辞検索
  3. C行列の格納
  4. D数値のソート
4.データ構造むずかしい

トポロジカルソートのためのカーンのアルゴリズムは、入次数 0 の頂点を繰り返し取り除きます。それらの頂点を保持する構造はどれですか。

  1. Aどの頂点がすでに取り除かれたかを記録する隣接行列
  2. B入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
  3. C出次数で順序づけた最大ヒープ
  4. D訪問したすべての辺のスタック
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 2 個, 次数 2 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 32 × deg 54 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
21371415145ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n log n)

これが答えになる理由

内側のループは n 回の外側の反復のそれぞれについて約 log₂ n 回実行されるので、O(n log n) になります。

答え

D · O(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

合計は n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn で、調和数 Hn は Θ(log n) です。

答え

A · O(n log n)
3.データ構造

答え: B · オートコンプリートなどの接頭辞検索

これが答えになる理由

トライは文字列を経路上の文字として格納するため、検索や接頭辞クエリはキーの長さに比例する時間で済みます。

答え

B · オートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造

答え: B · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）

これが答えになる理由

準備の整った頂点はキューに保持されます。1 つ取り除くと隣接頂点の入次数が下がり、0 になったものが追加されるので、時間は O(V + E) になります。

答え

B · 入次数が 0 の頂点のキュー（または任意のコレクション）
5.グラフ理論

答え: L = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 9) − 2
L = 11

答え

L = 11

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 13

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 2, C: 13
B (2): D: 9, E: 7
E (7): D: 8, F: 21
D (8): F: 13
C (13)
F (13)

最短経路

A → B → E → D → F
d(F) = 13

答え

d(F) = 13

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