データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

安定（stable）なソートアルゴリズムはどれですか？

  1. Aマージソート
  2. Bクイックソート（一般的なインプレース版）
  3. C選択ソート（一般的な版）
  4. Dヒープソート
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

  1. AO(2n²)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n!)
  4. DO(n³)
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. A左右の部分木の高さの差が高々 1 である
  2. Bすべてのノードが赤または黒に塗られている
  3. Cすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
  4. Dすべての葉がちょうど同じ深さにある
4.データ構造むずかしい

ランクによる合併（union by rank）も経路圧縮も使わない場合、n 要素の union-find 構造での 1 回の find の最悪コストはどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
7914161354ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · マージソート

これが答えになる理由

マージソートは、値が等しいときに左半分から先に取り出すようにマージすれば安定です。インプレースのクイックソート、ヒープソート、選択ソートは通常安定ではありません。

答え

A · マージソート
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n² 2ⁿ)

これが答えになる理由

状態は約 n 2ⁿ 個あり、それぞれ O(n) で計算されます。これは指数時間ですが、(n − 1)! 通りの巡回路をすべて試すよりはるかに速いです。

答え

B · O(n² 2ⁿ)
3.データ構造

答え: A · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

A · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

素朴な合併では木が長い鎖状につながることがあるので、find は n − 1 個の親ポインタをたどることがあります。2 つのヒューリスティックを使えば、ほぼ定数に近づきます。

答え

D · O(n)
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

D, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 7, C: 9
2. B (7): D: 21, E: 11
3. C (9): E: 10
4. E (10): D: 16, F: 15
5. F (15)
6. D (16)

ラウンド 4

E

答え

E

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