データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

問題が NP 完全（NP-complete）であるのは、次のどの場合ですか？

  1. ANP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
  2. B多項式時間で解ける
  3. C解くことが不可能である
  4. D停止問題のように、NP に属さないがすべての NP 問題より難しい
3.データ構造ふつう

隣接行列を使って辺 (u, v) が存在するかを調べるのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

  1. Afront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする
  2. Bバッファのサイズを 2 のべき乗にする
  3. Cfront と rear を同じ変数に格納する
  4. D要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
1111610139620ABCDEF

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 5 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 5
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 CE
  5. 5辺 DE
  6. 6辺 DF
  7. 7辺 EF
  8. 8辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

C · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる

これが答えになる理由

NP 完全問題は NP の中で最も難しい問題であり、そのうち一つでも多項式時間アルゴリズムがあれば、NP 全体に対して多項式時間アルゴリズムが得られます。

答え

A · NP に属し、すべての NP 問題が多項式時間でその問題に帰着できる
3.データ構造

答え: C · O(1)

これが答えになる理由

行 u、列 v の要素を見れば、辺が存在するかどうかがすぐにわかります。隣接リストでは u の隣接頂点を走査する必要があるかもしれません。

答え

C · O(1)
4.データ構造

答え: D · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量 を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

D · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: 辺 AB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. AC (1)
2. EF (6)
3. DF (9)
4. CE (10)
5. AB (11)

辺の番号 5

AB

答え

辺 AB

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