データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

重みなしグラフでの幅優先探索（BFS）で求められるものはどれですか？

  1. A負の辺の重みを含むグラフでの最短経路
  2. B始点ノードからの辺の数で測った最短経路
  3. Cすべてのグラフにおけるトポロジカル順序
  4. D最小全域木
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. Aどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
  2. B決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
  3. C扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
  4. D決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造ふつう

インデックス 0 から始まる配列に格納された二分ヒープで、インデックス i のノードの親はどこにありますか。

  1. Aインデックス i − 1
  2. Bインデックス ⌊i / 2⌋ + 1
  3. Cインデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. Dインデックス 2i + 1
4.データ構造むずかしい

ランクによる併合（union by rank）と経路圧縮（path compression）を用いた union-find（素集合）構造の、1 操作あたりの償却コストはどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
  3. CO(n²)
  4. Dちょうど O(log n)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 2 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
829712181ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路

これが答えになる理由

BFS は始点からの距離（辺の数）の順にノードを訪問するため、O(V + E) で重みなしの最短経路を求めます。

答え

B · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

D · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: C · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋

これが答えになる理由

i の子は 2i + 1 と 2i + 2 にあるので、i の親は ⌊(i − 1) / 2⌋ です。1 から始まるインデックスでは ⌊i / 2⌋ になります。

答え

C · インデックス ⌊(i − 1) / 2⌋
4.データ構造

答え: B · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数

これが答えになる理由

両方の最適化を行うと、操作の償却時間は O(α(n)) になります。現実的なあらゆる n に対して α(n) ≤ 4 です。

答え

B · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
5.グラフ理論

答え: L = 4

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

答え

L = 4

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 19

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 8
C (8): B: 10, E: 15
B (10): D: 19, E: 11
E (11): F: 19
D (19)
F (19)

最短経路

A → C → B → E → F
d(F) = 19

答え

d(F) = 19

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