データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1,000,000 要素のソート済み配列に対して、二分探索は最悪の場合およそ何回の比較を必要としますか？

  1. A約 100 回
  2. B約 20 回
  3. C約 1,000 回
  4. D約 500,000 回
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
  2. Bはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  3. Cはい。したがって下界は誤りである
  4. Dいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.データ構造むずかしい

ランクによる合併（union by rank）も経路圧縮も使わない場合、n 要素の union-find 構造での 1 回の find の最悪コストはどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
41015669121ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 約 20 回

これが答えになる理由

220 ≈ 1,048,576 なので、約 20 回半分にすると要素は 1 つだけ残ります。

答え

B · 約 20 回
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: D · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

D · O(log n)
4.データ構造

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

素朴な合併では木が長い鎖状につながることがあるので、find は n − 1 個の親ポインタをたどることがあります。2 つのヒューリスティックを使えば、ほぼ定数に近づきます。

答え

D · O(n)
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

B, C, D, G → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: d(F) = 17

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 4, C: 10
B (4): D: 10, E: 5
E (5): F: 17
C (10)
D (10)
F (17)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 17

答え

d(F) = 17

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