データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

クイックソートの最悪時間計算量は何ですか？

AO(n²)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

AΘ(n²)
BΘ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81
CΘ(n³)
DΘ(n² log n)

3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

A1 2 4 5 3
B4 2 5 1 3
C5 4 3 2 1
D4 5 2 3 1

4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

AO(1)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(n)

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 6 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 6

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n²)

これが答えになる理由

ピボットの選択が常に悪い場合（例：すでにソート済みの入力で先頭要素をピボットにする）、分割が偏り O(n²) になります。平均の場合は O(n log n) です。

答え

A · O(n²)

2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、n^{log₂ 7} が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n^2.81 になります。

答え

B · Θ(n^{log₂ 7})、約 n^2.81

3.データ構造

答え: D · 4 5 2 3 1

これが答えになる理由

帰りがけ順では 2 より先に 4 と 5 を処理し、次に 3、最後に根の 1 を処理します。

答え

D · 4 5 2 3 1

4.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

C · O(log n)

5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

D, E → 2

オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 13, C: 15

2. B (13): D: 27, G: 17

3. C (15): E: 20

4. G (17): D: 22

5. E (20): F: 23

6. D (22)

7. F (23)

ラウンド 6

答え

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