データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列に対するマージソートの再帰は何段階になりますか？

  1. A約 n / 2
  2. B約 n
  3. C約 √n
  4. D約 log₂ n
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. An 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
  2. B比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
  3. Cすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  4. D二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. Aすべてのノードが赤または黒に塗られている
  2. Bすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
  3. Cすべての葉がちょうど同じ深さにある
  4. D左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

  1. A常に正確な答えを返す
  2. B偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
  3. C偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
  4. D数値に対してのみ答えられる
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 18 個の頂点と 22 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 18|E| = 22
k =
6.グラフ理論むずかしい
13201619179188ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 約 log₂ n

これが答えになる理由

n から 1 まで半分にしていくには約 log₂ n 段階かかり、各段階で O(n) のマージ作業を行うので、O(n log n) になります。

答え

D · 約 log₂ n
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

A · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: D · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

D · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: B · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

B · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
5.グラフ理論

答え: k = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

18 − 1 = 17

取り除く辺

k = 22 − 17 = 5

答え

k = 5
6.グラフ理論

答え: W = 65

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BE (8): 取る
DF (9): 取る
AC (13): 取る
BD (16): 取る
DE (17): 飛ばす（閉路ができる）
EF (18): 飛ばす（閉路ができる）
CE (19): 取る

重みの合計

W = 8 + 9 + 13 + 16 + 19 = 65

答え

W = 65

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms