データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法がマージソートを実質的に高速化しないのはなぜですか？

Aマージソートには再帰的な構造がないから
B部分問題が重複しないので、再利用するものがないから
C動的計画法はグラフ問題にしか使えず、配列には使えないから
Dマージソートはすでに O(n) だから

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

閉路を作らない最も安い辺を繰り返し追加して最小全域木を求めるアルゴリズムはどれですか？

ADijkstra 法
B一つのノードから始める Prim 法
CFloyd–Warshall
DKruskal 法

3.データ構造ふつう

高さを辺の数で数えるとき、高さ h の完全（perfect）二分木にはいくつのノードがありますか。

A2^h
Bh²
C2^h+1 − 1
D2h + 1

4.データ構造むずかしい

赤黒木の規則は、n 個のキーをもつ木の高さについてどのような保証を与えますか。

A高さはちょうど log₂ n である
B高さは高々 log₂ n + 1 である
C高さは高々 2 log₂(n + 1) である
D高さは高々 n / 2 である

5.グラフ理論ふつう

木に次数 3 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 4 個があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 34 × deg 5

L =

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

これが答えになる理由

マージソートの 2 つの半分は互いに素で、それぞれ一度だけ解かれます。DP が役立つのは、フィボナッチのように部分問題が繰り返し現れる場合だけです。

答え

B · 部分問題が重複しないので、再利用するものがないから

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Kruskal 法

これが答えになる理由

Kruskal は辺を重みの順にソートし、異なる連結成分をつなぐ辺を追加します。Prim は開始頂点から一つの木を成長させます。

答え

D · Kruskal 法

3.データ構造

答え: C · 2^h+1 − 1

これが答えになる理由

1 + 2 + 4 + ... + 2^h を合計すると 2^h+1 − 1 になります。たとえば高さ 2 では 7 個のノードです。

答え

C · 2^h+1 − 1

4.データ構造

答え: C · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

これが答えになる理由

すべての経路は同じ数の黒ノードをもち、赤ノードは隣り合えないので、最長の経路は最短の経路の高々 2 倍となり、高さは O(log n) になります。

答え

C · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

5.グラフ理論

答え: L = 18

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 32 = 2(L + 8) − 2

L = 18

答え

L = 18

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 26

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15, C: 4

C (4): B: 10, E: 18, G: 9

G (9): E: 17

B (10): D: 24

E (17): F: 26

D (24)

F (26)

最短経路

A → C → G → E → F

d(F) = 26

答え

d(F) = 26

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