データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

辺の重みが非負のグラフで、一つの始点からの最短経路を求めるアルゴリズムはどれですか？

  1. AKruskal 法
  2. Bどの場合でも Bellman–Ford が必要
  3. C深さ優先探索（DFS）
  4. DDijkstra 法
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n³)
3.データ構造ふつう

ダイクストラ法が次に処理する頂点を選ぶために使う抽象データ型はどれですか。

  1. Aスタック
  2. B最小優先度付きキュー
  3. CFIFO キュー
  4. D順序のない集合
4.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

  1. A要素ごとに作り直す二分探索木
  2. B要素のすべての組を保持するキュー
  3. Cすべての要素のハッシュテーブル
  4. D答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 10 個の頂点と 14 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 10|E| = 14
k =
6.グラフ理論むずかしい
41499101815ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から C までの最短経路の長さd(C)を求めてください。

始点：A終点：C
d(C) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · Dijkstra 法

これが答えになる理由

Dijkstra 法は非負の重みで動作し、Bellman–Ford は負の重みを扱えます。Kruskal は最小全域木を構築します。

答え

D · Dijkstra 法
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

D · Θ(n³)
3.データ構造

答え: B · 最小優先度付きキュー

これが答えになる理由

最小優先度付きキュー（通常は二分ヒープ）は、未訪問の頂点のうち距離が最小のものを効率よく返します。

答え

B · 最小優先度付きキュー
4.データ構造

答え: D · 答えを待っている要素を保持するスタック

これが答えになる理由

左から右へ走査し、スタック内の現在の要素より小さい要素をすべて pop し（現在の要素がそれらの答えになる）、それから現在の要素を push します。各要素は高々 2 回しか移動しません。

答え

D · 答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論

答え: k = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

10 − 1 = 9

取り除く辺

k = 14 − 9 = 5

答え

k = 5
6.グラフ理論

答え: d(C) = 13

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 4, C: 14
B (4): C: 13, D: 13, E: 19
C (13)
D (13): F: 14
F (14)
E (19)

最短経路

A → B → C
d(C) = 13

答え

d(C) = 13

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