データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(mn)
  2. BO(m + n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ナップサック問題のどの変種で、「重さあたりの価値の順に品物をとる」という貪欲な規則が常に最適解を与えますか？

  1. Aどちらの変種でもない
  2. B両方の変種
  3. C品物を分割できる分数ナップサック問題
  4. D品物を必ず丸ごととらなければならない 0/1 ナップサック問題
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. Aレベル順
  2. B常に降順
  3. C挿入順
  4. D昇順
4.データ構造むずかしい

ある動的配列は満杯になるとサイズを 2 倍にします。多くの実装が、半分ではなく 4 分の 1 まで減ったときにだけ縮小するのはなぜですか。

  1. A境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
  2. B半分で半減させると要素が失われるから
  3. Cメモリアロケータはブロックの 4 分の 1 単位でしかメモリを解放できないから
  4. D配列をソートされた状態に保つため
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
1314158144612159ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(mn)

これが答えになる理由

表には (m + 1)(n + 1) 個のセルがあり、各セルは隣接するセルから O(1) で計算されます。

答え

A · O(mn)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 品物を分割できる分数ナップサック問題

これが答えになる理由

品物を分割できる場合は、比率の最もよいものから選ぶのが最適です。0/1 ナップサックでは比率の高い品物がよりよい組み合わせを妨げることがあるので、動的計画法が必要です。

答え

C · 品物を分割できる分数ナップサック問題
3.データ構造

答え: D · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

D · 昇順
4.データ構造

答え: A · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため

これが答えになる理由

半分で縮小すると、そのような操作列では毎回の操作でサイズ変更が起こりえます。4 分の 1 と満杯の間の幅があることで、ならしコストが O(1) に保たれます。

答え

A · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: d(F) = 27

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 13
C (13): B: 27, E: 21, G: 15
G (15): B: 16, D: 30
B (16)
E (21): F: 27
F (27)
D (30)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 27

答え

d(F) = 27

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