データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. A扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
  2. B決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  3. Cどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
  4. D決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
3.データ構造ふつう

後置記法の式 3 4 + 2 * の値は何ですか。

  1. A14
  2. B11
  3. C10
  4. D24
4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

  1. Aテーブルがソートされた状態になるから
  2. B安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
  3. Cスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
  4. D墓標がハッシュ計算を高速化するから
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 6 個の頂点と 16 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 6|E| = 16
k =
6.グラフ理論むずかしい
18158201691251ABCDEFG

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 DF
  6. 6辺 GB
  7. 7辺 GC
  8. 8辺 GD
  9. 9辺 GE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

D · O(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

B · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: A · 14

これが答えになる理由

3 と 4 を push し、+ で 7。2 を push し、* で 7 × 2 = 14 になります。

答え

A · 14
4.データ構造

答え: C · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

C · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論

答え: k = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

6 − 1 = 5

取り除く辺

k = 16 − 5 = 11

答え

k = 11
6.グラフ理論

答え: 辺 GB

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. GE (1)
2. GD (5)
3. BC (8)
4. GB (9)
5. AC (15)
6. DF (16)

辺の番号 4

GB

答え

辺 GB

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