データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n/2) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ある NP 完全問題に対する多項式時間アルゴリズムを誰かが見つけたら、何が導かれますか？

  1. Aすべての指数時間アルゴリズムがただちに線形時間で動くようになる
  2. B停止問題が決定可能になる
  3. Cその 1 つの問題だけが P に移る
  4. DNP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
3.データ構造ふつう

ある道路網には 100,000 の交差点があり、それぞれが約 4 つの他の交差点とつながっています。最も適した表現はどれですか。

  1. A隣接リスト
  2. B隣接行列
  3. C頂点の 1 つのソート済み配列
  4. D辺の二分ヒープ
4.データ構造むずかしい

二分ヒープにおける decrease-key（要素の位置が分かっている場合）の時間計算量はどれですか。

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 4 個, 次数 5 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 33 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
134121814371617ABCDEFG

プリム法は、頂点 D から始めて最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Dk = 3
  1. 1辺 AC
  2. 2辺 BC
  3. 3辺 CE
  4. 4辺 DE
  5. 5辺 DF
  6. 6辺 EF
  7. 7辺 GB
  8. 8辺 GC
  9. 9辺 GD

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(log n)

これが答えになる理由

問題は各ステップで半分になり、各ステップの作業量は定数なので、ステップ数は約 log₂ n です。

答え

B · O(log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · NP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる

これが答えになる理由

NP 全体がどの NP 完全問題にも多項式時間で帰着するので、1 つに対する高速なアルゴリズムはすべてに対する高速なアルゴリズムを与えます。

答え

D · NP のすべての問題が多項式時間で解けることになり、P = NP となる
3.データ構造

答え: A · 隣接リスト

これが答えになる理由

行列では 1010 個のセルが必要になり、そのほとんどが空です。隣接リストなら約 400,000 個の辺の項目だけを格納すれば済みます。

答え

A · 隣接リスト
4.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

キーを減らした後、要素は最大でヒープの高さ分だけ上へ移動します（sift up）。フィボナッチヒープでは償却 O(1) の decrease-key が実現できます。

答え

C · O(log n)
5.グラフ理論

答え: L = 15

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

答え

L = 15

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. DF (14)
2. EF (3)
3. CE (12)
4. BC (4)
5. GB (7)
6. AC (13)

辺の番号 3

CE

答え

辺 CE

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