データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  2. Bいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
  3. Cはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
  4. Dはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  2. BX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
  3. CX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  4. DX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
3.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

  1. Aより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
  2. B衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される
  3. C既存のキーがその場でソートされる
  4. D場所を空けるために最も古いキーが削除される
4.データ構造むずかしい

n 個の数からなるストリームから、O(k) のメモリで最小の k 個の値を保持しなければなりません。O(n log k) 時間で動作する方法はどれですか。

  1. Aサイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
  2. Bn 個すべての値のソート済み配列
  3. Cn 個すべての値を保持する最小ヒープで、最後に小さい方から k 個を取り出す
  4. D最後の k 個の値の FIFO キュー
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
14145221115ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

D · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

A · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: A · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

これが答えになる理由

インデックスはテーブルのサイズを法として計算されるので、すべてのキーを新しい大きなテーブルに再ハッシュしなければなりません。サイズを 2 倍にすれば、ならしで O(1) のままです。

答え

A · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
4.データ構造

答え: A · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える

これが答えになる理由

最大ヒープの根は保持している値の最大値です。それより小さい新しい値は O(log k) でそれと置き換わるので、ヒープは常にそれまでの最小の k 個を保持します。

答え

A · サイズ k の最大ヒープを使い、より小さい値が来たら根を置き換える
5.グラフ理論

答え: L = 17

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

答え

L = 17

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 1
2. C (1): B: 5, E: 6
3. B (5): D: 19
4. E (6): D: 8, F: 17
5. D (8): F: 10
6. F (10)

ラウンド 4

E

答え

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms