データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

AO(nk)
BO(k n log n)
CO(n log n + k log n)
DO(n + k)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

AO(2^n²)
BO(n³)
CO(n!)
DO(n² 2ⁿ)

3.データ構造ふつう

二分ヒープに新しい要素はどのように挿入されますか。

A配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）
Bヒープ全体を一から作り直す
C根に置き、下へ移動させる（sift down）
Dより大きい要素をすべて 1 つ右にずらして、ソートされた位置に挿入する

4.データ構造むずかしい

セグメント木は一般的に何に使われますか。

Aスタックを実装する
Bグラフの辺を格納する
C区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する
D各接頭辞を別々の木のノードに格納することで、文字列をアルファベット順にソートする

5.グラフ理論ふつう

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10

1オイラー閉路
2オイラー路あり、閉路なし
3どちらでもない

6.グラフ理論むずかしい

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F

d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

C · O(n log n + k log n)

2.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n² 2ⁿ)

これが答えになる理由

状態は約 n 2ⁿ 個あり、それぞれ O(n) で計算されます。これは指数時間ですが、(n − 1)! 通りの巡回路をすべて試すよりはるかに速いです。

答え

D · O(n² 2ⁿ)

3.データ構造

答え: A · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

これが答えになる理由

末尾に追加することで木は完全なまま保たれ、親との交換によって O(log n) ステップで順序が回復します。

答え

A · 配列の末尾に置き、ヒープ性に反している間は上へ移動させる（sift up）

4.データ構造

答え: C · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する

これが答えになる理由

セグメント木は区間ごとの集約値を格納し、区間クエリと一点更新を O(log n) 時間で行えます。

答え

C · 区間クエリ（区間和など）と更新を O(log n) で処理する

5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

B, D, E, G → 4

どちらでもない

答え

どちらでもない

6.グラフ理論

答え: d(F) = 21

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 9, C: 10

B (9): D: 19

C (10): E: 20, G: 25

D (19): F: 22

E (20): F: 21

F (21)

G (25)

最短経路

A → C → E → F

d(F) = 21

答え

d(F) = 21

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