データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1、3、4 の硬貨で金額 6 をつくるとき、貪欲な「最大の硬貨から」方式は最適解と比べて何枚の硬貨を使いますか？

  1. A貪欲法は 3 枚、最適解は 3 枚
  2. B貪欲法は 4 枚、最適解は 3 枚
  3. C貪欲法は 2 枚、最適解は 2 枚
  4. D貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定不能な問題と扱いにくい問題の違いは何ですか？

  1. A扱いにくい問題はどのアルゴリズムでも解けず、決定不能な問題は指数時間を必要とするだけである
  2. B決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
  3. Cどちらもアルゴリズムがまったくないことを意味する
  4. D決定不能な問題は NP に属し、扱いにくい問題は P に属する
3.データ構造ふつう

実行中のプログラムが、有効な関数呼び出しとそのローカル変数を管理するために使うデータ構造はどれですか。

  1. Aコールスタック
  2. B関数のハッシュテーブル
  3. Cヒープメモリのキュー
  4. Dフレームの二分探索木
4.データ構造むずかしい

get と put が O(1) の LRU（least recently used）キャッシュを実現できるデータ構造はどれですか。

  1. Aスタックのみ
  2. B二分探索木のみ
  3. C単一のソート済み配列
  4. Dハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K7 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K7
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

D から E への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚

これが答えになる理由

貪欲法は 4 + 1 + 1 = 3 枚を使いますが、3 + 3 なら 2 枚で済むので、この硬貨体系では貪欲法は最適ではありません。動的計画法なら最適です。

答え

D · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる

これが答えになる理由

停止問題にはアルゴリズムがまったくありません。TSP のような NP 困難な問題は総当たりで解けますが、既知の多項式時間では解けません。

答え

B · 決定不能な問題にはすべての入力で解くアルゴリズムがなく、扱いにくい問題にはあるが遅すぎる
3.データ構造

答え: A · コールスタック

これが答えになる理由

各呼び出しはスタックフレームを push し、各リターンはそれを pop します。そのため最も新しい呼び出しが最初に終了します。

答え

A · コールスタック
4.データ構造

答え: D · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ

これが答えになる理由

ハッシュマップでノードを O(1) で見つけ、双方向連結リストでアクセスした要素を先頭へ移動し、末尾から追い出す処理を O(1) で行います。

答え

D · ハッシュマップと双方向連結リストの組み合わせ
5.グラフ理論

答え: H = 360

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答え

H = 360
6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

もう 1 歩

(M³)DE = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 2·1 + 1·0 + 1·1 = 4

答え

N = 4

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