データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ボトムアップの表を使って n 番目のフィボナッチ数を計算する時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

単方向連結リストでは、二分探索が O(log n) 時間にならないのはなぜですか？

  1. A二分探索には少なくとも 2 倍のメモリが必要だから
  2. B連結リストのノードでの比較は遅いから
  3. Cインデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
  4. D連結リストはソートできないから
3.データ構造ふつう

深さ優先探索（反復版）で使われるデータ構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブルのみ
  2. Bヒープ
  3. Cキュー
  4. Dスタック
4.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

  1. A任意の位置への要素の挿入
  2. B配列のソートと二分探索
  3. C接頭辞和のクエリと単一要素の更新
  4. DO(1) での中央値の検索
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 20 個の頂点と 25 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 20|E| = 25
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

B から E への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

0 から n まで表を埋めるには項目ごとに 1 回の加算で済むので、作業量は指数ではなく線形になります。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから

これが答えになる理由

二分探索には中央への O(1) のアクセスが必要です。連結リストではそこまでたどるのに線形時間がかかるので、全体は O(n) になります。

答え

C · インデックスによる直接アクセスがないので、中央の要素に到達するのに O(n) ステップかかるから
3.データ構造

答え: D · スタック

これが答えになる理由

DFS はできるだけ深く探索するため、自然にスタック（または再帰の呼び出しスタック）を使います。BFS はキューを使います。

答え

D · スタック
4.データ構造

答え: C · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

これが答えになる理由

フェニック木は各インデックスの下位ビットによって決まる範囲の部分和を格納するので、接頭辞和と一点更新のどちらも O(log n) で済みます。

答え

C · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

20 − 1 = 19

取り除く辺

k = 25 − 19 = 6

答え

k = 6
6.グラフ理論

答え: N = 7

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

もう 1 歩

(M³)BE = 0·0 + 4·1 + 0·0 + 1·1 + 1·0 + 2·1 = 7

答え

N = 7

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