データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ならし解析（amortised analysis）は何を測りますか？

  1. Aランダムな入力に対する期待コスト
  2. B最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
  3. C操作列のどこかにある、最もコストの高い 1 回の操作のコスト
  4. D最良の入力に対するアルゴリズムのコスト
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  2. Bいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
  3. Cいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
  4. Dはい。したがって下界は誤りである
3.データ構造ふつう

固定のアルファベットをもつトライで、長さ L の単語を探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(L × n)
  2. B単語の数を n として O(n)
  3. C格納されている単語の数に関係なく O(L)
  4. D単語の数を n として O(log n)
4.データ構造むずかしい

n 要素の二分最小ヒープで任意のキーを探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

E から F への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト

これが答えになる理由

ならし解析は、まれな高コストの操作のコストを多数の低コストの操作に分散させ、どの操作列に対しても保証された平均を与えます。

答え

B · 最悪の操作列にわたる操作 1 回あたりの平均コスト
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

B · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: C · 格納されている単語の数に関係なく O(L)

これが答えになる理由

各文字が 1 つの子を選ぶので、トライにいくつの単語が含まれていても、検索は L ステップで済みます。

答え

C · 格納されている単語の数に関係なく O(L)
4.データ構造

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

ヒープには、どちらの部分木にキーが含まれるかについての規則がないので、最悪の場合すべてのノードを調べなければなりません。すばやく見つけられるのは最小値だけです。

答え

B · O(n)
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇数次数の頂点

F, G → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

共通の隣接頂点

(M²)EF = 0·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 1

答え

N = 1

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