データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

次の充足可能性問題のうち、多項式時間で解けることが知られているのはどれですか？

  1. A連言標準形の式に対する一般の SAT
  2. B各節のリテラルがちょうど 3 個の 3-SAT
  3. C回路充足可能性問題
  4. D各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.データ構造むずかしい

根が 50、左部分木が 30（子は 20, 40）、右部分木が 70（子は 60, 80）の BST で、通りがけ順の後続ノードを使って根を削除します。新しい根になるキーはどれですか。

  1. A70
  2. B60
  3. C80
  4. D40
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 3 個, 次数 5 の頂点が 4 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.グラフ理論むずかしい
8171412146141114ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(V × E)

これが答えになる理由

V − 1 回の各ラウンドで E 本すべての辺を緩和するので O(VE) になります。その代わり、負の辺の重みを扱えます。

答え

B · O(V × E)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT

これが答えになる理由

2-SAT は P に属します（強連結成分を用いて線形時間）。一方、3-SAT は NP 完全です。

答え

D · 各節のリテラルが高々 2 個の 2-SAT
3.データ構造

答え: C · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

C · O(log n)
4.データ構造

答え: B · 60

これが答えになる理由

右部分木の最も左のノードは 60 なので、60 が 50 と置き換わり、元の位置からは取り除かれます。先行ノードを使えば 40 になります。

答え

B · 60
5.グラフ理論

答え: L = 23

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 41 = 2(L + 10) − 2
L = 23

答え

L = 23

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 17

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 8
C (8): B: 9, E: 22, G: 22
B (9): D: 16, G: 15
G (15)
D (16): F: 17
F (17): E: 21
E (21)

最短経路

A → C → B → D → F
d(F) = 17

答え

d(F) = 17

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