データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(n) の解は何ですか？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

P と NP に関する記述として正しいものはどれですか？

  1. ANP は "not polynomial" を意味する
  2. BP に属するすべての問題は NP にも属する
  3. CNP の問題は高速に検証できない
  4. DP ≠ NP であることが証明されている
3.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

  1. Aキーが挿入順に格納されること
  2. Bどの場合でも定数時間での探索
  3. C2 つの子を持つノードが存在しないこと
  4. D再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

  1. Aスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
  2. Bテーブルがソートされた状態になるから
  3. C墓標がハッシュ計算を高速化するから
  4. D安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
1818379104ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n²)

これが答えになる理由

作業量の合計は約 n² / 2 で、これは選択ソートや、最悪のピボットを選んだクイックソートの漸化式です。

答え

B · O(n²)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · P に属するすべての問題は NP にも属する

これが答えになる理由

P ⊆ NP です。問題を高速に解けるなら、解も高速に検証できます。P = NP かどうかは未解決です。

答え

B · P に属するすべての問題は NP にも属する
3.データ構造

答え: D · 再平衡化による O(log n) の高さ

これが答えになる理由

自己平衡木は高さを対数オーダーに保つため、探索・挿入・削除は最悪の場合でも O(log n) です。

答え

D · 再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造

答え: A · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

A · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

C, E → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 5

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 1
C (1): E: 2, G: 10
E (2): F: 5, G: 6
F (5): D: 13
G (6): B: 13
B (13)
D (13)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 5

答え

d(F) = 5

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