データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. Aすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
  2. B1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
  3. C最小全域木を O(E log V) で
  4. Dトポロジカル順序を O(V²) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. Aすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  2. Bn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
  3. C二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
  4. D比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
3.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

  1. A最短経路の探索
  2. B数値のソート
  3. C行列の格納
  4. Dオートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造むずかしい

ダブルハッシュ法が主に軽減する線形探査法の問題はどれですか。

  1. Aキーの値を読み取る O(n) のコスト
  2. B使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
  3. Cキーをテーブルに格納する必要があること
  4. Dハッシュ関数が必要であること
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

D から E への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

A · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: D · オートコンプリートなどの接頭辞検索

これが答えになる理由

トライは文字列を経路上の文字として格納するため、検索や接頭辞クエリはキーの長さに比例する時間で済みます。

答え

D · オートコンプリートなどの接頭辞検索
4.データ構造

答え: B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング

これが答えになる理由

線形探査法は 1 ずつ進むので、使用中の連なりが大きくなって合体します。ダブルハッシュ法は 2 つ目のハッシュを刻み幅に使うので、異なるキーは異なる系列を探査します。

答え

B · 使用中のスロットが長く連なる一次クラスタリング
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

答え

N = 1

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