データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
  2. Bいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  3. Cはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  4. Dはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

停止問題（halting problem）が示していることはどれですか？

  1. Aすべてのプログラムはいずれ停止する
  2. Bすべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
  3. Cループは避けるべきである
  4. D一部のプログラムは高速なコンピュータでより速く動作するので、停止するかどうかはハードウェアに依存するから
3.データ構造ふつう

n 要素の配列の中央に要素を挿入するコストはどれですか。

  1. A後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
  2. Bインデックスがわかっているので O(1)
  3. C各要素が n 回移動するので O(n²)
  4. D二分探索のため O(log n)
4.データ構造むずかしい

データベースやファイルシステムで B 木が使われるのはなぜですか。

  1. Aデータをソートせずに格納するから
  2. B再平衡化が不要だから
  3. C分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
  4. Dどの配列よりもメモリ使用量が少ないので、索引全体が常に主記憶に収まるから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
127711111314ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない

これが答えになる理由

Turing は停止問題が決定不能（undecidable）であることを示しました。判定器が存在すると仮定すると、その逆の動作をするプログラムとの間で矛盾が生じます。

答え

B · すべてのプログラムと入力について、それが停止するかどうかを判定できるアルゴリズムは存在しない
3.データ構造

答え: A · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)

これが答えになる理由

挿入位置より後のすべての要素が 1 つ右に移動するので、n に比例する時間がかかります。

答え

A · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造

答え: C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから

これが答えになる理由

B 木は 1 つのノードに多くのキーを格納するため高さが小さく、1 回の検索に必要なブロック読み込みが少なくて済みます。B+ 木はさらに範囲走査のために葉同士をつなぎます。

答え

C · 分岐数が大きいため木が浅く保たれ、遅いディスク読み込みが減るから
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: d(F) = 21

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 12, C: 7
C (7): E: 8
E (8): F: 21
B (12): D: 13
D (13)
F (21)

最短経路

A → C → E → F
d(F) = 21

答え

d(F) = 21

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