データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

辺の重みが非負のグラフで、一つの始点からの最短経路を求めるアルゴリズムはどれですか？

  1. ADijkstra 法
  2. BKruskal 法
  3. C深さ優先探索（DFS）
  4. Dどの場合でも Bellman–Ford が必要
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

カラツバ乗算は T(n) = 3T(n/2) + O(n) を満たします。この解は何ですか？

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(nlog₂ 3)、約 n1.585
3.データ構造ふつう

平衡二分探索木でキーを探索する時間計算量はどれですか。

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
4.データ構造むずかしい

隣接行列として格納された V 頂点のグラフに対する幅優先探索の実行時間はどれですか。

  1. AO(E log V)
  2. BO(V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 20 個の頂点と 27 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 20|E| = 27
k =
6.グラフ理論むずかしい
11141528133ABCDE

プリム法は、頂点 A から始めて最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Ak = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · Dijkstra 法

これが答えになる理由

Dijkstra 法は非負の重みで動作し、Bellman–Ford は負の重みを扱えます。Kruskal は最小全域木を構築します。

答え

A · Dijkstra 法
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(nlog₂ 3)、約 n1.585

これが答えになる理由

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1 なので、マスター定理により葉が支配的となり、O(n²) の筆算の方法より優れています。

答え

D · Θ(nlog₂ 3)、約 n1.585
3.データ構造

答え: B · O(log n)

これが答えになる理由

平衡木の高さは約 log₂ n なので、探索は根から葉への 1 本の経路をたどるだけです。

答え

B · O(log n)
4.データ構造

答え: D · O(V²)

これが答えになる理由

V 個の頂点のそれぞれが V 個の要素の行を走査するので O(V²) になります。隣接リストを使えば BFS は O(V + E) です。

答え

D · O(V²)
5.グラフ理論

答え: k = 8

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

20 − 1 = 19

取り除く辺

k = 27 − 19 = 8

答え

k = 8
6.グラフ理論

答え: 辺 CE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. AB (11)
2. BD (2)
3. BE (3)
4. CE (8)

辺の番号 4

CE

答え

辺 CE

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