データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ワーシャル－フロイド法は何を、どれくらいの速さで計算しますか？

  1. Aすべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
  2. B最小全域木を O(E log V) で
  3. C1 つの始点から他のすべての頂点への最短経路を O(V + E) で
  4. Dトポロジカル順序を O(V²) で
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. Aすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  2. Bn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
  3. C二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
  4. D比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
3.データ構造ふつう

あるアプリケーションには高速な検索が必要で、さらにキーをソート順に一覧にしたり、範囲クエリに答えたりする必要もあります。最も適した構造はどれですか。

  1. Aハッシュテーブル
  2. B平衡二分探索木
  3. Cソートされていない連結リスト
  4. Dスタック
4.データ構造むずかしい

ランクによる併合（union by rank）と経路圧縮（path compression）を用いた union-find（素集合）構造の、1 操作あたりの償却コストはどれですか。

  1. Aちょうど O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
  4. DO(n²)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
528172031418ABCDEF

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 6|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で

これが答えになる理由

ワーシャル－フロイド法は、各頂点を順に中継点として許していく動的計画法のアルゴリズムで、O(V³) 時間を使います。

答え

A · すべての頂点対の間の最短経路を O(V³) で
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: B · 平衡二分探索木

これが答えになる理由

平衡 BST は O(log n) の検索を提供し、キーを順序づけて保つので、通りがけ順の走査や範囲クエリが容易です。ハッシュテーブルはキーをばらばらに配置します。

答え

B · 平衡二分探索木
4.データ構造

答え: C · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数

これが答えになる理由

両方の最適化を行うと、操作の償却時間は O(α(n)) になります。現実的なあらゆる n に対して α(n) ≤ 4 です。

答え

C · O(α(n))（逆アッカーマン関数）で、実用上は定数
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1, deg(G) = 1

奇数次数の頂点

B, E, F, G → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: W = 28

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

DF (1): 取る
AC (2): 取る
DE (3): 取る
EF (4): 飛ばす（閉路ができる）
AB (5): 取る
BC (8): 飛ばす（閉路ができる）
BD (17): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 3 + 5 + 17 = 28

答え

W = 28

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