データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

重みなしグラフでの幅優先探索（BFS）で求められるものはどれですか？

  1. A始点ノードからの辺の数で測った最短経路
  2. Bすべてのグラフにおけるトポロジカル順序
  3. C負の辺の重みを含むグラフでの最短経路
  4. D最小全域木
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

マスター定理を用いると、T(n) = 8T(n/2) + O(n²) の解はどれですか？

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

  1. A既存のキーがその場でソートされる
  2. B衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される
  3. Cより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
  4. D場所を空けるために最も古いキーが削除される
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A辺を重みの順にソートする
  2. B開始頂点を選ぶ
  3. C探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
  4. D辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 6 個の頂点と 10 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 6|E| = 10
k =
6.グラフ理論むずかしい
4647149151114ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路

これが答えになる理由

BFS は始点からの距離（辺の数）の順にノードを訪問するため、O(V + E) で重みなしの最短経路を求めます。

答え

A · 始点ノードからの辺の数で測った最短経路
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · Θ(n³)

これが答えになる理由

log₂ 8 = 3 であり、n² は n³ より増加が遅いため、葉が支配的になります：Θ(n³)。

答え

D · Θ(n³)
3.データ構造

答え: C · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

これが答えになる理由

インデックスはテーブルのサイズを法として計算されるので、すべてのキーを新しい大きなテーブルに再ハッシュしなければなりません。サイズを 2 倍にすれば、ならしで O(1) のままです。

答え

C · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
4.データ構造

答え: D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

D · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: k = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

6 − 1 = 5

取り除く辺

k = 10 − 5 = 5

答え

k = 5
6.グラフ理論

答え: C

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 4
2. B (4): C: 10, D: 8, G: 19
3. D (8): F: 22
4. C (10): E: 17
5. E (17)
6. G (19)
7. F (22)

ラウンド 4

C

答え

C

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