データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

n 要素の配列を一度ソートし、その後 k 回の所属判定クエリに二分探索で答えます。全体のコストは何ですか？

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

P と NP に関する記述として正しいものはどれですか？

  1. AP に属するすべての問題は NP にも属する
  2. BNP の問題は高速に検証できない
  3. CP ≠ NP であることが証明されている
  4. DNP は "not polynomial" を意味する
3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

  1. A70
  2. B20
  3. C40
  4. D50
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. Aそのノードとその子の色を塗り替える
  2. B平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
  3. C子で左回転し、次にそのノードで右回転
  4. D平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 6 個の頂点と 10 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 6|E| = 10
k =
6.グラフ理論むずかしい
1310881713101ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n log n + k log n)

これが答えになる理由

ソートのコストは O(n log n)、各クエリは O(log n) です。k が大きいとき、これは k 回の線形走査（O(nk)）より優れています。

答え

D · O(n log n + k log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · P に属するすべての問題は NP にも属する

これが答えになる理由

P ⊆ NP です。問題を高速に解けるなら、解も高速に検証できます。P = NP かどうかは未解決です。

答え

A · P に属するすべての問題は NP にも属する
3.データ構造

答え: B · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

B · 20
4.データ構造

答え: B · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

B · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: k = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

6 − 1 = 5

取り除く辺

k = 10 − 5 = 5

答え

k = 5
6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 13, C: 10
2. C (10): E: 11
3. E (11): D: 18, F: 21
4. B (13)
5. D (18): G: 19
6. G (19)
7. F (21)

ラウンド 4

B

答え

B

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