データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n 個の未ソート要素からボトムアップ法で二分ヒープを構築する時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.データ構造ふつう

ダイクストラ法が次に処理する頂点を選ぶために使う抽象データ型はどれですか。

  1. AFIFO キュー
  2. B順序のない集合
  3. Cスタック
  4. D最小優先度付きキュー
4.データ構造むずかしい

オープンアドレス法を使うハッシュテーブルで、削除に「墓標」（tombstone）マーカーがよく使われるのはなぜですか。

  1. Aスロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
  2. Bテーブルがソートされた状態になるから
  3. C墓標がハッシュ計算を高速化するから
  4. D安全のため削除したキーを永久に保持する必要があり、スロットを再利用できないから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

A を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(mn)

これが答えになる理由

表には (m + 1)(n + 1) 個のセルがあり、各セルは隣接するセルから O(1) で計算されます。

答え

B · O(mn)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

各段の sift-down のコストを合計すると収束する級数になるため、heapify は線形時間で実行されます。

答え

A · O(n)
3.データ構造

答え: D · 最小優先度付きキュー

これが答えになる理由

最小優先度付きキュー（通常は二分ヒープ）は、未訪問の頂点のうち距離が最小のものを効率よく返します。

答え

D · 最小優先度付きキュー
4.データ構造

答え: A · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから

これが答えになる理由

削除したスロットが空になると、その後の探索が途中で止まり、探査チェーンのさらに先に配置されたキーを見逃すおそれがあります。

答え

A · スロットを空にすると、他のキーの探査列が途切れる可能性があるから
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

答え

N = 1

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