データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

動的計画法（dynamic programming）が有効なのは、問題が次の性質を持つときです。

  1. A重複する部分問題と最適部分構造
  2. Bランダムな入力のみ
  3. Cループが一つだけ
  4. D部分問題がまったくないので、1 ステップで解ける
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

最短単純路は多項式時間で見つけられます。一般のグラフで 2 頂点間の最長単純路を見つけることについて、何が知られていますか？

  1. A決定不能である
  2. BNP 困難である
  3. C常に O(V + E) で解ける
  4. D重みの符号を反転すればダイクストラ法で解ける
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.データ構造むずかしい

n 個の数の配列に対するフェニック木（Binary Indexed Tree）が O(log n) でサポートする操作はどれですか。

  1. AO(1) での中央値の検索
  2. B接頭辞和のクエリと単一要素の更新
  3. C配列のソートと二分探索
  4. D任意の位置への要素の挿入
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
171011622013ABCDE

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 3 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 3
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 重複する部分問題と最適部分構造

これが答えになる理由

重複する部分問題の結果を保存する（メモ化または表計算）ことで繰り返しの処理を避け、指数時間のアルゴリズムを多項式時間に変えられます。

答え

A · 重複する部分問題と最適部分構造
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · NP 困難である

これが答えになる理由

長さ V − 1 の最長単純路はハミルトン路であり、これは NP 完全問題です。ただし有向非巡回グラフでは線形時間で解けます。

答え

B · NP 困難である
3.データ構造

答え: A · 4 5 2 3 1

これが答えになる理由

帰りがけ順では 2 より先に 4 と 5 を処理し、次に 3、最後に根の 1 を処理します。

答え

A · 4 5 2 3 1
4.データ構造

答え: B · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新

これが答えになる理由

フェニック木は各インデックスの下位ビットによって決まる範囲の部分和を格納するので、接頭辞和と一点更新のどちらも O(log n) で済みます。

答え

B · 接頭辞和のクエリと単一要素の更新
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇数次数の頂点

A, B, C, E → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: 辺 AC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. CE (2)
2. BD (6)
3. AC (10)
4. BC (11)

辺の番号 3

AC

答え

辺 AC

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