データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題: Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正則グラフ: |E| = n·k/2
木と森: |E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー: 閉路：すべての次数が偶数；路：奇数次数がちょうど 2 つ
K_n のハミルトン閉路: (n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道: (Mᴸ)_ij

解き方

各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

長さ m と n の文字列の最長共通部分列を求める標準的な動的計画法の時間計算量は何ですか？

AO(mn log n)
BO(m + n)
CO(2^m+n)
DO(mn)

2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

Aいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
Bはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
Cはい。したがって下界は誤りである
Dいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから

3.データ構造ふつう

トライ（接頭辞木）が特に効率的なのはどのような用途ですか。

A数値のソート
B最短経路の探索
Cオートコンプリートなどの接頭辞検索
D行列の格納

4.データ構造むずかしい

赤黒木の規則は、n 個のキーをもつ木の高さについてどのような保証を与えますか。

A高さは高々 2 log₂(n + 1) である
B高さは高々 log₂ n + 1 である
C高さは高々 n / 2 である
D高さはちょうど log₂ n である

5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K₄ には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K₄

H =

6.グラフ理論むずかしい

C を始点かつ終点とする、長さ 2 の閉じた歩道はいくつありますか？歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2

N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(mn)

これが答えになる理由

表には (m + 1)(n + 1) 個のセルがあり、各セルは隣接するセルから O(1) で計算されます。

答え

D · O(mn)

2.アルゴリズムと計算量

答え: A · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

A · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

3.データ構造

答え: C · オートコンプリートなどの接頭辞検索

これが答えになる理由

トライは文字列を経路上の文字として格納するため、検索や接頭辞クエリはキーの長さに比例する時間で済みます。

答え

C · オートコンプリートなどの接頭辞検索

4.データ構造

答え: A · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

これが答えになる理由

すべての経路は同じ数の黒ノードをもち、赤ノードは隣り合えないので、最長の経路は最短の経路の高々 2 倍となり、高さは O(log n) になります。

答え

A · 高さは高々 2 log₂(n + 1) である

5.グラフ理論

答え: H = 3

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、K_n には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答え

H = 3

6.グラフ理論

答え: N = 3

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。K_n には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)_CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

答え

N = 3

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