データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

1、3、4 の硬貨で金額 6 をつくるとき、貪欲な「最大の硬貨から」方式は最適解と比べて何枚の硬貨を使いますか？

  1. A貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
  2. B貪欲法は 3 枚、最適解は 3 枚
  3. C貪欲法は 4 枚、最適解は 3 枚
  4. D貪欲法は 2 枚、最適解は 2 枚
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

未ソートの配列から k 番目に小さい要素を選択することについて、正しい記述はどれですか？

  1. A選択は O(n²) でしか行えない
  2. Bクイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
  3. Cクイックセレクトはピボットの片側だけで再帰するので、最悪でも O(log n) で動作する
  4. D選択にはソートが必要なので、常に Ω(n log n) が必要である
3.データ構造ふつう

容量 n の配列に格納された循環キューで、インデックス i の次の位置はどのように計算されますか。

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D2i + 1
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. A平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
  2. B平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
  3. Cそのノードとその子の色を塗り替える
  4. D子で左回転し、次にそのノードで右回転
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 12 個の頂点と 18 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 12|E| = 18
k =
6.グラフ理論むずかしい
42971715161014ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚

これが答えになる理由

貪欲法は 4 + 1 + 1 = 3 枚を使いますが、3 + 3 なら 2 枚で済むので、この硬貨体系では貪欲法は最適ではありません。動的計画法なら最適です。

答え

A · 貪欲法は 3 枚、最適解は 2 枚
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する

これが答えになる理由

ランダムなピボットでは、クイックセレクトの期待作業量は n + n/2 + n/4 + ... = O(n) です。ピボットを中央値の中央値として選ぶと、最悪の場合も線形になります。

答え

B · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造

答え: A · (i + 1) mod n

これが答えになる理由

剰余演算によりインデックス n − 1 は 0 に戻るので、要素をずらさずに配列を再利用できます。

答え

A · (i + 1) mod n
4.データ構造

答え: A · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

A · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: k = 7

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

12 − 1 = 11

取り除く辺

k = 18 − 11 = 7

答え

k = 7
6.グラフ理論

答え: W = 52

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

AC (2): 取る
AB (4): 取る
CE (7): 取る
BC (9): 飛ばす（閉路ができる）
GD (10): 取る
GE (14): 取る
DF (15): 取る

重みの合計

W = 2 + 4 + 7 + 10 + 14 + 15 = 52

答え

W = 52

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