データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(n²) のアルゴリズムは O(n³) でもあると言うのは正しいですか？

  1. Aいいえ。Big O は常に関数の正確な増加率を述べなければならないから
  2. Bはい。ただし n が 100 より小さい場合に限る
  3. Cはい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
  4. Dいいえ。n が大きいとき n³ は n² より小さいから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クック－レビンの定理は何を確立しましたか？

  1. AP が NP と等しくないこと
  2. Bすべての NP 問題が指数時間で解けること
  3. C停止問題が決定不能であること
  4. Dブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

  1. A根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
  2. B配列の最後の要素を取り除く
  3. C最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
  4. Dすべての葉から新しい最小値を探す
4.データ構造むずかしい

ブルームフィルタは「この要素は集合に含まれるか」という問いにどのように答えますか。

  1. A数値に対してのみ答えられる
  2. B常に正確な答えを返す
  3. C偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
  4. D偽陰性はあり得るが、偽陽性はない
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
893131056712ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから

これが答えになる理由

Big O は上界なので、この記述は正しいですがタイトではありません。正確な増加率を述べるのは Θ(n²) です。

答え

C · はい。Big O は上界であり、n² は n³ より速く増加しないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること

これが答えになる理由

クックとレビンは独立に、NP のすべての問題が多項式時間で SAT に帰着することを示したので、SAT は最初に知られた NP 完全問題となりました。

答え

D · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造

答え: C · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

これが答えになる理由

最後の要素が根の穴を埋め、ヒープ性が成り立つまでより小さい子と交換されます。これには O(log n) かかります。

答え

C · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
4.データ構造

答え: C · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない

これが答えになる理由

ある要素に対応するビットのどれかが 0 なら確実に存在せず、すべて 1 ならおそらく存在します。ブルームフィルタは精度と引き換えに非常に少ないメモリで済みます。

答え

C · 偽陽性はあり得るが、偽陰性はない
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: d(F) = 25

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): C: 8
C (8): B: 17, E: 21, G: 15
G (15)
B (17): D: 20
D (20): F: 25
E (21)
F (25)

最短経路

A → C → B → D → F
d(F) = 25

答え

d(F) = 25

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