データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

22n は O(2ⁿ) に属しますか？

  1. Aいいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
  2. Bいいえ。22n は 2ⁿ よりゆっくり増加するから
  3. Cはい。Big O では指数の定数倍は常に無視されるから
  4. Dはい。どちらも指数的だから
3.データ構造ふつう

AVL 木はすべてのノードでどのような平衡条件を保っていますか。

  1. Aすべての葉がちょうど同じ深さにある
  2. Bすべてのノードが赤または黒に塗られている
  3. C左右の部分木の高さの差が高々 1 である
  4. Dすべてのノードの両方の部分木が、まったく同じ数のノードを含む
4.データ構造むずかしい

ある動的配列は満杯になるとサイズを 2 倍にします。多くの実装が、半分ではなく 4 分の 1 まで減ったときにだけ縮小するのはなぜですか。

  1. A境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
  2. B配列をソートされた状態に保つため
  3. Cメモリアロケータはブロックの 4 分の 1 単位でしかメモリを解放できないから
  4. D半分で半減させると要素が失われるから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
49113142012ABCDE

プリム法は、頂点 B から始めて最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。

始点：Bk = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

配列の再帰的な総和のように、定数の作業量をもつ段階が n 個あります。

答え

D · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから

これが答えになる理由

指数に定数を加えると定数倍になりますが、指数に定数を掛けると底と増加率が変わります。

答え

A · いいえ。22n = 4ⁿ であり、4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ は限りなく大きくなるから
3.データ構造

答え: C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である

これが答えになる理由

平衡係数（左の高さ − 右の高さ）は −1、0、1 のいずれかでなければなりません。挿入と削除の後は回転によってこれを回復します。

答え

C · 左右の部分木の高さの差が高々 1 である
4.データ構造

答え: A · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため

これが答えになる理由

半分で縮小すると、そのような操作列では毎回の操作でサイズ変更が起こりえます。4 分の 1 と満杯の間の幅があることで、ならしコストが O(1) に保たれます。

答え

A · 境界付近で push と pop が交互に起こるときに、サイズ変更が繰り返されるのを避けるため
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: 辺 BE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

プリム法

1. BD (3)
2. AB (4)
3. AC (9)
4. BE (12)

辺の番号 4

BE

答え

辺 BE

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