データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

あるクイックソートは常に最初の要素をピボットに使います。どの入力で最悪の振る舞いを示しますか？

  1. Aすべての要素が異なる配列
  2. Bランダムな順序の配列
  3. C長さ 2 の配列
  4. Dすでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  2. BX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
  3. CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  4. DX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
3.データ構造ふつう

容量 n の配列に格納された循環キューで、インデックス i の次の位置はどのように計算されますか。

  1. A(i − 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.データ構造むずかしい

基数木（radix tree、圧縮トライ）は通常のトライをどのように改良していますか。

  1. A各ノードの子を頻度順にソートする
  2. B各単語を別々のノードではなく、根にあるハッシュテーブルに格納する
  3. C子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
  4. D各単語の最初の文字だけを保持する
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
31541265914ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 5 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · すでにソートされている配列

これが答えになる理由

ソート済みの入力ではピボットが常に最小値になるので、一方は空、もう一方は n − 1 個の要素となり、O(n²) になります。

答え

D · すでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: C · (i + 1) mod n

これが答えになる理由

剰余演算によりインデックス n − 1 は 0 に戻るので、要素をずらさずに配列を再利用できます。

答え

C · (i + 1) mod n
4.データ構造

答え: C · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる

これが答えになる理由

分岐のない経路をまとめることで、接頭辞検索を保ったまま、ノードの数と使用メモリを減らします。

答え

C · 子が 1 つだけのノードの連なりを、文字列でラベル付けされた 1 本の辺にまとめる
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

A, C, D, E → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 3, C: 15
2. B (3): D: 7, E: 17
3. D (7): E: 13, F: 12
4. F (12)
5. E (13)
6. C (15)

ラウンド 5

E

答え

E

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