データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

  1. A常に最適解を与える
  2. B各ステップで局所的に最良の選択をする
  3. C再帰のみを使用する
  4. D可能なすべての解を試す
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

シュトラッセンのアルゴリズムは、半分のサイズのブロックの再帰的な掛け算を 8 回ではなく 7 回にして行列を掛けます。実行時間は何ですか？

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(nlog₂ 7)、約 n2.81
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n2)
3.データ構造ふつう

衝突したキーを同じバケット内のリストに格納する衝突解決法はどれですか。

  1. Aチェイン法（Separate chaining）
  2. B線形探査法（Linear probing）
  3. C二次探査法（Quadratic probing）
  4. Dダブルハッシュ法（Double hashing）
4.データ構造むずかしい

AVL 木にキーを挿入すると、あるノードの左部分木が高くなりすぎました。新しいキーはその左の子の左部分木に入りました（左左の場合）。どのような修正が適用されますか。

  1. Aそのノードとその子の色を塗り替える
  2. B平衡が崩れたノードで 1 回の左回転
  3. C子で左回転し、次にそのノードで右回転
  4. D平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
851011915725ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 3 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · 各ステップで局所的に最良の選択をする

これが答えになる理由

貪欲法は高速で、一部の問題（例：Dijkstra、Huffman 符号化）では最適ですが、一般にはそうではありません（例：ある硬貨体系での両替問題）。

答え

B · 各ステップで局所的に最良の選択をする
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81

これが答えになる理由

a = 7、b = 2 で、nlog₂ 7 が O(n²) の加算の作業量より支配的なので、約 n2.81 になります。

答え

B · Θ(nlog₂ 7)、約 n2.81
3.データ構造

答え: A · チェイン法（Separate chaining）

これが答えになる理由

チェイン法はバケットごとに連結リスト（または別の構造）を持ち、オープンアドレス法はテーブル内で別の空きスロットを探します。

答え

A · チェイン法（Separate chaining）
4.データ構造

答え: D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転

これが答えになる理由

左左の場合は、1 回の右回転で左の子が持ち上がり、平衡が回復します。ジグザグの場合は二重回転が必要です。

答え

D · 平衡が崩れたノードで 1 回の右回転
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: B

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 8
2. C (8): B: 13, G: 15
3. B (13): D: 23
4. G (15): D: 17, E: 20
5. D (17): F: 28
6. E (20)
7. F (28)

ラウンド 3

B

答え

B

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