データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

プリム法は最小全域木をどのように構築しますか？

  1. Aすべての辺を重みでソートし、森の中で閉路をつくる場合を除いて 1 本ずつ加える
  2. B幅優先探索を実行し、BFS 木を残す
  3. C閉路がなくなるまで最も高い辺を取り除く
  4. D開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

未ソートの配列から k 番目に小さい要素を選択することについて、正しい記述はどれですか？

  1. Aクイックセレクトはピボットの片側だけで再帰するので、最悪でも O(log n) で動作する
  2. B選択は O(n²) でしか行えない
  3. C選択にはソートが必要なので、常に Ω(n log n) が必要である
  4. Dクイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造ふつう

サイズ 7 のハッシュテーブルが h(k) = k mod 7 と線形探査法を使っています。10 を挿入した後、17 はどこに格納されますか。

  1. Aインデックス 3
  2. Bインデックス 6
  3. Cインデックス 0
  4. Dインデックス 4
4.データ構造むずかしい

単純一様ハッシュの仮定の下で、n 個のキーと m 個のバケットをもつチェイン法のハッシュテーブルの探索の期待時間はどれですか。

  1. AO(n)
  2. Bα = n / m として O(1 + α)
  3. CO(log n)
  4. DO(m)
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

A から B への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える

これが答えになる理由

木をまたぐ辺の優先度付きキューを用いるプリム法は、二分ヒープを使うと O(E log V) で動作します。

答え

D · 開始頂点から 1 本の木を成長させ、木から出る最も安い辺を加える
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する

これが答えになる理由

ランダムなピボットでは、クイックセレクトの期待作業量は n + n/2 + n/4 + ... = O(n) です。ピボットを中央値の中央値として選ぶと、最悪の場合も線形になります。

答え

D · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造

答え: D · インデックス 4

これが答えになる理由

10 mod 7 = 3、17 mod 7 = 3 です。インデックス 3 は使われているので、線形探査法は次のスロットであるインデックス 4 を試します。

答え

D · インデックス 4
4.データ構造

答え: B · α = n / m として O(1 + α)

これが答えになる理由

ハッシュの計算は O(1) で、チェインの期待される長さは α なので、サイズ変更によって α を有界に保てば期待 O(1) 時間になります。

答え

B · α = n / m として O(1 + α)
5.グラフ理論

答え: オイラー閉路

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

0
オイラー閉路

答え

オイラー閉路
6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

もう 1 歩

(M³)AB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

答え

N = 4

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