データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

標準的な 3 重ループで 2 つの n × n 行列を掛ける時間計算量は何ですか？

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. Aすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  2. Bn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
  3. C比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
  4. D二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
3.データ構造ふつう

負荷率がしきい値を超えた後にハッシュテーブルが再ハッシュ（rehash）すると、何が起こりますか。

  1. A場所を空けるために最も古いキーが削除される
  2. B既存のキーがその場でソートされる
  3. C衝突しているキーだけが、テーブルの末尾にある新しいオーバーフローリストに移される
  4. Dより大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
4.データ構造むずかしい

配列のサイズ k のすべてのウィンドウの最大値を合計 O(n) で計算できる構造はどれですか。

  1. A値の降順にインデックスを保持するデック
  2. Bウィンドウの要素の単方向連結リスト
  3. Cずらすことで更新するソート済み配列
  4. Dウィンドウごとに作り直す最小ヒープ
5.グラフ理論ふつう
ABCDEオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
11492811151310ABCDEF

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 5 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · O(n³)

これが答えになる理由

要素は n² 個あり、それぞれに n 回の掛け算が必要なので、n³ 回の演算になります。

答え

B · O(n³)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

B · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: D · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される

これが答えになる理由

インデックスはテーブルのサイズを法として計算されるので、すべてのキーを新しい大きなテーブルに再ハッシュしなければなりません。サイズを 2 倍にすれば、ならしで O(1) のままです。

答え

D · より大きなテーブルが確保され、すべてのキーが挿入し直される
4.データ構造

答え: A · 値の降順にインデックスを保持するデック

これが答えになる理由

デックの先頭は常にウィンドウの最大値です。各インデックスはデックに 1 回入って 1 回出るので、作業量は線形です。

答え

A · 値の降順にインデックスを保持するデック
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇数次数の頂点

C, D → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 1, C: 14
2. B (1): C: 10, D: 3, E: 11
3. D (3): F: 18
4. C (10)
5. E (11)
6. F (18)

ラウンド 5

E

答え

E

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