データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) の時間計算量は何ですか？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n 個の未ソート要素からボトムアップ法で二分ヒープを構築する時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.データ構造ふつう

後置記法の式 3 4 + 2 * の値は何ですか。

  1. A11
  2. B14
  3. C24
  4. D10
4.データ構造むずかしい

配列の各要素について、その右側にある次に大きい要素を、合計 O(n) 時間で求めたいとします。役立つ構造はどれですか。

  1. A答えを待っている要素を保持するスタック
  2. Bすべての要素のハッシュテーブル
  3. C要素ごとに作り直す二分探索木
  4. D要素のすべての組を保持するキュー
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 5 の頂点が 4 個, 次数 2 の頂点が 2 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

4 × deg 52 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
89134151478ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n log n)

これが答えになる理由

内側のループは n 回の外側の反復のそれぞれについて約 log₂ n 回実行されるので、O(n log n) になります。

答え

A · O(n log n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n)

これが答えになる理由

各段の sift-down のコストを合計すると収束する級数になるため、heapify は線形時間で実行されます。

答え

D · O(n)
3.データ構造

答え: B · 14

これが答えになる理由

3 と 4 を push し、+ で 7。2 を push し、* で 7 × 2 = 14 になります。

答え

B · 14
4.データ構造

答え: A · 答えを待っている要素を保持するスタック

これが答えになる理由

左から右へ走査し、スタック内の現在の要素より小さい要素をすべて pop し（現在の要素がそれらの答えになる）、それから現在の要素を push します。各要素は高々 2 回しか移動しません。

答え

A · 答えを待っている要素を保持するスタック
5.グラフ理論

答え: L = 14

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

答え

L = 14

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 23

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 8
B (8): C: 17, D: 21, E: 16
E (16): F: 23
C (17)
D (21)
F (23)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 23

答え

d(F) = 23

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