データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

あるクイックソートは常に最初の要素をピボットに使います。どの入力で最悪の振る舞いを示しますか？

  1. Aランダムな順序の配列
  2. B長さ 2 の配列
  3. Cすべての要素が異なる配列
  4. Dすでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

log(n!) について正しい評価はどれですか？

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(log n)
3.データ構造ふつう

n 要素の配列の中央に要素を挿入するコストはどれですか。

  1. A各要素が n 回移動するので O(n²)
  2. Bインデックスがわかっているので O(1)
  3. C二分探索のため O(log n)
  4. D後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造むずかしい

二分探索木から 2 つの子を持つノードを削除するには、通常どうしますか。

  1. A根と入れ替える
  2. B中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
  3. Cその下の部分木を一から作り直し、含まれていたすべてのキーを挿入し直す
  4. D部分木全体を削除する
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K5 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K5
H =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDEF

F から B への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · すでにソートされている配列

これが答えになる理由

ソート済みの入力ではピボットが常に最小値になるので、一方は空、もう一方は n − 1 個の要素となり、O(n²) になります。

答え

D · すでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · Θ(n log n)

これが答えになる理由

log(n!) ≤ n log n であり、大きい方の n / 2 個の因数から log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2) が得られます。これが比較ソートに Ω(n log n) が必要な理由です。

答え

C · Θ(n log n)
3.データ構造

答え: D · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)

これが答えになる理由

挿入位置より後のすべての要素が 1 つ右に移動するので、n に比例する時間がかかります。

答え

D · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造

答え: B · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する

これが答えになる理由

中間順の後続ノードは子を高々 1 つしか持たないため、そのキーを削除対象のノードにコピーした後、簡単に削除できます。

答え

B · 中間順の後続ノード（または先行ノード）で置き換え、そのノードを削除する
5.グラフ理論

答え: H = 12

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答え

H = 12
6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

共通の隣接頂点

(M²)FB = 0·1 + 0·0 + 0·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

答え

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms