データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

漸化式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) の解は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ハッシュテーブルの平均探索時間が O(1) なのに、最悪の場合は O(n) になるのはなぜですか？

  1. Aキーを先にソートする必要があるから
  2. Bハッシュ関数が遅いから
  3. C多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
  4. D配列のアクセスが O(n) だから
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. A昇順
  2. B常に降順
  3. Cレベル順
  4. D挿入順
4.データ構造むずかしい

標準的なブルームフィルタから、ビットをクリアするだけで要素を削除できないのはなぜですか。

  1. Aブルームフィルタは要素全体を格納しており、いったんハッシュ化されると再び見つけられないから
  2. Bブルームフィルタのビットは作成後に変更できないから
  3. Cそれらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
  4. D削除すると偽陽性率が 100% に上がるから
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
15172561219ABCDE

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(2ⁿ)

これが答えになる理由

呼び出しの数は段階ごとに 2 倍になり、段階は n 個あるので、ハノイの塔のように合計は約 2ⁿ になります。

答え

D · O(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから

これが答えになる理由

良いハッシュ関数と負荷率（load factor）であれば、バケットは平均して短く保たれます。悪意のある入力や質の悪いハッシュでは、すべてのキーが一つのバケットに入ることがあります。

答え

C · 多くのキーが同じバケットで衝突（collision）する可能性があるから
3.データ構造

答え: A · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

A · 昇順
4.データ構造

答え: C · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから

これが答えになる理由

共有されたビットをクリアすると、別の要素が存在しないように見えてしまいます。カウンティング・ブルームフィルタは削除を可能にするために、ビットの代わりにカウンタを保持します。

答え

C · それらのビットは他の要素にも属している可能性があり、偽陰性を引き起こすから
5.グラフ理論

答え: どちらでもない

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

A, B, C, E → 4
どちらでもない

答え

どちらでもない
6.グラフ理論

答え: W = 28

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

BC (2): 取る
BD (5): 取る
CE (6): 取る
DE (12): 飛ばす（閉路ができる）
AB (15): 取る

重みの合計

W = 2 + 5 + 6 + 15 = 28

答え

W = 28

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