データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

貪欲法（greedy algorithm）の説明として正しいものはどれですか？

  1. A各ステップで局所的に最良の選択をする
  2. B可能なすべての解を試す
  3. C常に最適解を与える
  4. D再帰のみを使用する
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

n が大きいとき、n! と 2ⁿ はどのように比較されますか？

  1. An! は 2ⁿ より速く増加する
  2. Bn! は O(n²) である
  3. C同じ速さで増加する
  4. D2ⁿ は n! より速く増加する
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. A挿入順
  2. B昇順
  3. Cレベル順
  4. D常に降順
4.データ構造むずかしい

単方向連結リストをその場で反転させる時間と追加領域のコストはどれですか。

  1. A時間 O(n)、追加領域 O(n)
  2. B時間 O(n)、追加領域 O(1)
  3. C時間 O(n log n)、追加領域 O(1)
  4. D時間 O(1)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 11 個の頂点と 16 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 11|E| = 16
k =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

D から C への長さ 3 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 各ステップで局所的に最良の選択をする

これが答えになる理由

貪欲法は高速で、一部の問題（例：Dijkstra、Huffman 符号化）では最適ですが、一般にはそうではありません（例：ある硬貨体系での両替問題）。

答え

A · 各ステップで局所的に最良の選択をする
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · n! は 2ⁿ より速く増加する

これが答えになる理由

n ≥ 4 では n! は 2ⁿ を超え、n! の追加の因数はそれぞれ 2 より大きいので、比は限りなく大きくなります。

答え

A · n! は 2ⁿ より速く増加する
3.データ構造

答え: B · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

B · 昇順
4.データ構造

答え: B · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

これが答えになる理由

3 つのポインタ（前、現在、次）を保持すれば、新しいノードを確保せずに 1 回の走査で各リンクを反転できます。

答え

B · 時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論

答え: k = 6

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

11 − 1 = 10

取り除く辺

k = 16 − 10 = 6

答え

k = 6
6.グラフ理論

答え: N = 3

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

もう 1 歩

(M³)DC = 1·1 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 3

答え

N = 3

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