データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

O(log n) のように、Big O で対数の底が通常省略されるのはなぜですか？

  1. A計算機科学のすべての対数は底が 10 なので、省略されているから
  2. B対数は常に整数に丸められるから
  3. C底は n が小さいときにしか問題にならないから
  4. D底の異なる対数は定数倍しか違わないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(1)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(log n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(n)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(n log n)
3.データ構造ふつう

二分最小ヒープの extract-min はどのように動作しますか。

  1. Aすべての葉から新しい最小値を探す
  2. B最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
  3. C根を取り除き、すべての要素を 1 つ左にずらす
  4. D配列の最後の要素を取り除く
4.データ構造むずかしい

キー 5, 3, 8, 1 をこの順に、空の配列ベースの二分最小ヒープに挿入します。最終的な配列はどれですか。

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 5, 8, 3]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
81832191011312ABCDEFG

重み付きグラフの最小全域木の重みの合計 W を求めてください。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから

これが答えになる理由

底を変えると対数は定数倍されるだけで、Big O は定数倍を無視します。

答え

D · 底の異なる対数は定数倍しか違わないから
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

A · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: B · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）

これが答えになる理由

最後の要素が根の穴を埋め、ヒープ性が成り立つまでより小さい子と交換されます。これには O(log n) かかります。

答え

B · 最後の要素を根に移し、下へ移動させる（sift down）
4.データ構造

答え: D · [1, 3, 8, 5]

これが答えになる理由

5, 3, 8 の後、配列は [3, 5, 8] です。1 はインデックス 3 に入り、親の 5 と、次に 3 と交換されて [1, 3, 8, 5] になります。

答え

D · [1, 3, 8, 5]
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: W = 43

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

GC (1): 取る
DE (2): 取る
CE (3): 取る
AB (8): 取る
GB (10): 取る
GE (12): 飛ばす（閉路ができる）
GD (13): 飛ばす（閉路ができる）
BD (18): 飛ばす（閉路ができる）
EF (19): 取る

重みの合計

W = 1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 19 = 43

答え

W = 43

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