データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

到達可能な基底部をもたない再帰関数について、正しい記述はどれですか？

  1. Aコールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
  2. B自動的に 0 を返す
  3. Cコンパイラが常にそれを、安全に終了するループに変換する
  4. DO(1) 時間で動作する
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

決定問題 X が NP 完全であることを証明するには、どの 2 つのことを示さなければなりませんか？

  1. AX が P の問題に帰着すること、および X が NP に属すること
  2. BX に多項式アルゴリズムがないこと、および X が決定可能であること
  3. CX が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
  4. DX が P に属すること、および X が SAT に帰着すること
3.データ構造ふつう

n 要素の配列の中央に要素を挿入するコストはどれですか。

  1. A各要素が n 回移動するので O(n²)
  2. B二分探索のため O(log n)
  3. Cインデックスがわかっているので O(1)
  4. D後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造むずかしい

ハッシュテーブルが正しく動作するためには、ハッシュと等価性はどの規則に従わなければなりませんか。

  1. A異なるキーは異なるハッシュ値をもたなければならない
  2. Bハッシュ値は素数でなければならない
  3. Cハッシュ値が等しければキーも等しい
  4. D等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFGオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

C から B への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける

これが答えになる理由

基底部がないと再帰は決して止まりません。実際にはスタックフレーム用のメモリが尽き、プログラムがクラッシュします。

答え

A · コールスタックがオーバーフローするまで自分自身を呼び続ける
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること

これが答えになる理由

NP への所属は X が NP より難しくないことを示し、既知の NP 完全問題からの帰着は X が NP 全体と少なくとも同じくらい難しいことを示します。

答え

C · X が NP に属すること、および既知の NP 完全問題が多項式時間で X に帰着すること
3.データ構造

答え: D · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)

これが答えになる理由

挿入位置より後のすべての要素が 1 つ右に移動するので、n に比例する時間がかかります。

答え

D · 後ろの要素をずらさなければならないので O(n)
4.データ構造

答え: D · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない

これが答えになる理由

等しい 2 つのキーのハッシュが異なれば、それらは異なるバケットに格納され、検索に失敗します。等しくないキーがハッシュを共有することはかまいません。

答え

D · 等しいキーは等しいハッシュ値をもたなければならない
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇数次数の頂点

C, F → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: N = 2

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

共通の隣接頂点

(M²)CB = 1·1 + 1·0 + 0·1 + 0·0 + 1·1 = 2

答え

N = 2

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