データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

辺の重みが非負のグラフで、一つの始点からの最短経路を求めるアルゴリズムはどれですか？

  1. ADijkstra 法
  2. Bどの場合でも Bellman–Ford が必要
  3. CKruskal 法
  4. D深さ優先探索（DFS）
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

挿入ソートはソート済みの入力に対して O(n) で動作します。これは比較ソートの Ω(n log n) の下界と矛盾しますか？

  1. Aはい。したがって下界は誤りである
  2. Bいいえ。挿入ソートは比較ソートではないから
  3. Cはい。ただし 100 より短い配列の場合に限る
  4. Dいいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造ふつう

連結リストにおける番兵（ダミー）ノードの目的は何ですか。

  1. Aリストをソートされた状態にする
  2. B先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
  3. C要素の数を格納する
  4. Dリストのノード数が決まった最大値を超えて増えないようにする
4.データ構造むずかしい

循環バッファでは、front == rear は空と満杯のどちらも意味しえます。これらを区別する一般的な方法はどれですか。

  1. Afront と rear を同じ変数に格納する
  2. Bfront と rear が等しいときは常にバッファをクリアして、空の状態にする
  3. Cバッファのサイズを 2 のべき乗にする
  4. D要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 2 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.グラフ理論むずかしい
101391119816ABCDE

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 2 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 2
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · Dijkstra 法

これが答えになる理由

Dijkstra 法は非負の重みで動作し、Bellman–Ford は負の重みを扱えます。Kruskal は最小全域木を構築します。

答え

A · Dijkstra 法
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない

これが答えになる理由

この下界は、どの比較ソートもサイズ n のある入力に対して約 n log n 回の比較を必要とすることを述べています。特別な入力ではずっと速くなりえます。

答え

D · いいえ。下界はすべての入力にわたる最悪の場合に適用されるのであって、すべての入力に適用されるわけではない
3.データ構造

答え: B · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする

これが答えになる理由

番兵があれば実際のすべてのノードに前のノードがあるので、先頭での挿入や削除に特別な処理が不要になります。

答え

B · 先頭や末尾での特別な場合をなくしてコードを単純にする
4.データ構造

答え: D · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく

これが答えになる理由

要素数を使えば、空は count = 0、満杯は count = 容量 を意味します。空のスロットを 1 つ残す方法では、満杯を (rear + 1) mod n == front と定義します。

答え

D · 要素数を別に保持するか、常に 1 つのスロットを使わずに残しておく
5.グラフ理論

答え: L = 5

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

答え

L = 5

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: 辺 BC

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. DE (8)
2. BC (9)
3. AB (10)
4. BD (11)

辺の番号 2

BC

答え

辺 BC

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