データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ある関数は n 回反復するループを 1 つ実行し、その後別に n 回反復するループをもう 1 つ実行します。時間計算量は何ですか？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ヘルド－カープの動的計画法アルゴリズムは巡回セールスマン問題を厳密に解きます。n 都市に対する実行時間は何ですか？

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.データ構造ふつう

循環バッファ（リングバッファ）は一般的に何を実装するために使われますか。

  1. A二分探索木
  2. Bハッシュ関数
  3. Cグラフ探索
  4. D固定サイズのキュー
4.データ構造むずかしい

ヒープソートについて正しい記述はどれですか。

  1. A最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
  2. Bどの入力に対しても O(n) 時間で動作する
  3. C追加の記憶領域として二分探索木を必要とするので、O(n) の追加メモリを使う
  4. D安定で、O(n) の追加メモリを必要とする
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

C を始点かつ終点とする、長さ 3 の閉じた歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 3
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(n)

これが答えになる理由

n + n = 2n で、定数倍は取り除かれるので、この関数は O(n) です。

答え

A · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · O(n² 2ⁿ)

これが答えになる理由

状態は約 n 2ⁿ 個あり、それぞれ O(n) で計算されます。これは指数時間ですが、(n − 1)! 通りの巡回路をすべて試すよりはるかに速いです。

答え

D · O(n² 2ⁿ)
3.データ構造

答え: D · 固定サイズのキュー

これが答えになる理由

リングバッファは回り込む head と tail のインデックスを使い、固定メモリで O(1) の enqueue と dequeue を実現します。

答え

D · 固定サイズのキュー
4.データ構造

答え: A · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない

これが答えになる理由

ヒープソートは最大ヒープを構築し、同じ配列内で最大値を n 回取り出します。遠く離れた位置どうしの交換によって、等しいキーの順序が入れ替わることがあります。

答え

A · 最悪 O(n log n) 時間でその場でソートするが、安定ではない
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

奇数次数の頂点

D, F → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: N = 4

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

もう 1 歩

(M³)CC = 1·1 + 2·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 = 4

答え

N = 4

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