データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

多くのライブラリのソート関数が、非常に小さな部分配列では挿入ソートに切り替えるのはなぜですか？

  1. A挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
  2. B挿入ソートは最悪の場合 O(n log n) だから
  3. C大きな入力では、挿入ソートは他のどのソートアルゴリズムよりメモリが少なくて済むから
  4. D再帰アルゴリズムは 10 要素未満の配列を扱えないから
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

1 回のインクリメントで多くのビットが反転することがあるとして、2 進カウンタのインクリメントのならしコストは何ですか？

  1. Aインクリメント 1 回あたり O(n)
  2. Bインクリメント 1 回あたり O(log n)
  3. Cインクリメント 1 回あたり O(n log n)
  4. Dインクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造ふつう

ある二分木の根は 1 で、左の子が 2、右の子が 3 です。ノード 2 の子は 4（左）と 5（右）です。帰りがけ順の走査はどれですか。

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D5 4 3 2 1
4.データ構造むずかしい

n 要素の二分最小ヒープで任意のキーを探索するのにどれだけ時間がかかりますか。

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(log log n)
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K6 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K6
H =
6.グラフ理論むずかしい
1511510116311ABCDEF

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから

これが答えになる理由

n が小さいときは、O(n²) であっても、挿入ソートの単純なループの方がクイックソートやマージソートの再帰のオーバーヘッドより速くなります。

答え

A · 挿入ソートはオーバーヘッドが小さく、小さな入力やほぼソート済みの入力で速いから
2.アルゴリズムと計算量

答え: D · インクリメント 1 回あたり O(1)

これが答えになる理由

n 回のインクリメントでビット i は約 n / 2ⁱ 回反転するので、合計は 2n 回未満の反転となり、平均は 1 回あたり O(1) です。

答え

D · インクリメント 1 回あたり O(1)
3.データ構造

答え: A · 4 5 2 3 1

これが答えになる理由

帰りがけ順では 2 より先に 4 と 5 を処理し、次に 3、最後に根の 1 を処理します。

答え

A · 4 5 2 3 1
4.データ構造

答え: B · O(n)

これが答えになる理由

ヒープには、どちらの部分木にキーが含まれるかについての規則がないので、最悪の場合すべてのノードを調べなければなりません。すばやく見つけられるのは最小値だけです。

答え

B · O(n)
5.グラフ理論

答え: H = 60

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答え

H = 60
6.グラフ理論

答え: d(F) = 29

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 15, C: 1
C (1)
B (15): D: 25, E: 26
D (25): F: 31
E (26): F: 29
F (29)

最短経路

A → B → E → F
d(F) = 29

答え

d(F) = 29

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