データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

あるクイックソートは常に最初の要素をピボットに使います。どの入力で最悪の振る舞いを示しますか？

  1. Aランダムな順序の配列
  2. B長さ 2 の配列
  3. Cすべての要素が異なる配列
  4. Dすでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

little-o 記法について正しい記述はどれですか？

  1. An = o(n²) だが、n は o(n) ではない
  2. Bn² = o(n)
  3. C2n はゆっくり増加するので、2n = o(n)
  4. Dどの関数も自分自身の little-o なので、n = o(n)
3.データ構造ふつう

キーをソート済みの順序で挿入した場合、n 個のノードを持つ二分探索木の最悪の高さはいくつですか。

  1. A1
  2. B√n
  3. Clog₂ n
  4. Dn（連結リストのようになる）
4.データ構造むずかしい

単方向連結リストをその場で反転させる時間と追加領域のコストはどれですか。

  1. A時間 O(n log n)、追加領域 O(1)
  2. B時間 O(1)、追加領域 O(1)
  3. C時間 O(n)、追加領域 O(n)
  4. D時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論ふつう

木に 次数 3 の頂点が 3 個, 次数 4 の頂点が 3 個 があり、ほかのすべての頂点は葉（次数 1）です。葉は何枚Lありますか？

3 × deg 33 × deg 4
L =
6.グラフ理論むずかしい
ABCDE

A から D への長さ 2 の歩道はいくつありますか？ 歩道では頂点や辺を繰り返してもかまいません。その数を N とします。

M = 隣接行列L = 2
N =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: D · すでにソートされている配列

これが答えになる理由

ソート済みの入力ではピボットが常に最小値になるので、一方は空、もう一方は n − 1 個の要素となり、O(n²) になります。

答え

D · すでにソートされている配列
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · n = o(n²) だが、n は o(n) ではない

これが答えになる理由

f = o(g) は f(n) / g(n) が 0 に近づくことを意味します。n / n² は 0 に近づきますが、n / n = 1 は近づきません。

答え

A · n = o(n²) だが、n は o(n) ではない
3.データ構造

答え: D · n（連結リストのようになる）

これが答えになる理由

ソート済みの挿入では高さ n の退化した木ができ、探索が O(n) になります。平衡木はこれを防ぎます。

答え

D · n（連結リストのようになる）
4.データ構造

答え: D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)

これが答えになる理由

3 つのポインタ（前、現在、次）を保持すれば、新しいノードを確保せずに 1 回の走査で各リンクを反転できます。

答え

D · 時間 O(n)、追加領域 O(1)
5.グラフ理論

答え: L = 11

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

木の握手補題

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

答え

L = 11

近道：次数 d ≥ 3 の頂点について L = 2 + Σ (d − 2) です。

6.グラフ理論

答え: N = 1

次数：頂点の次数は、その頂点に接する辺の数です。どの辺にも端が 2 つあるので、次数の和は辺の数の 2 倍になります：Σ deg(v) = 2|E|（握手補題）。したがって、奇数次数の頂点の数は偶数です。Kn には n(n − 1)/2 本の辺があり、n 個の頂点をもつ k 正則グラフには nk/2 本、n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があります。

隣接行列

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0

共通の隣接頂点

(M²)AD = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 = 1

答え

N = 1

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