データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

V 個の頂点と E 本の辺をもつグラフに対するベルマン－フォード法の時間計算量は何ですか？

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(E log V)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

動的計画法で解く 0/1 ナップサック問題は O(nW) 時間かかります。これが擬多項式（pseudo-polynomial）と呼ばれるのはなぜですか？

  1. AW は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
  2. BW = 0 の場合にしか動作しないから
  3. Cアルゴリズムが乱択（randomised）で、実行時間が入力ごとに変わるから
  4. Dn が常に小さいから
3.データ構造ふつう

二分探索木を中間順（in-order）でたどると、キーはどの順序で訪問されますか。

  1. A常に降順
  2. B昇順
  3. C挿入順
  4. Dレベル順
4.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

  1. A一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
  2. B数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
  3. C訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
  4. Dリストをソートして重複を探す
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
414122017315ABCDE

クラスカル法は最小全域木をつくります。それが 4 番目に加える辺をクリックしてください。飛ばされた辺は数えません。

k = 4
  1. 1辺 AB
  2. 2辺 AC
  3. 3辺 BC
  4. 4辺 BD
  5. 5辺 CE
  6. 6辺 DE
  7. 7辺 BE

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · O(V × E)

これが答えになる理由

V − 1 回の各ラウンドで E 本すべての辺を緩和するので O(VE) になります。その代わり、負の辺の重みを扱えます。

答え

A · O(V × E)
2.アルゴリズムと計算量

答え: A · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから

これが答えになる理由

実行時間は W の値に対しては多項式ですが、その長さ（log W ビット）に対しては指数的です。0/1 ナップサック問題は NP 完全です。

答え

A · W は数値なので、実行時間は W を書くのに使うビット数に対して指数的になるから
3.データ構造

答え: B · 昇順

これが答えになる理由

左部分木、ノード、右部分木の順に訪問すると、BST のキーがソート順に出力されます。

答え

B · 昇順
4.データ構造

答え: A · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる

これが答えになる理由

フロイドのアルゴリズムでは、閉路があれば速いポインタがいずれ遅いポインタに追いつきます。そうでなければ速いポインタは null に到達します。

答え

A · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: 辺 BE

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

クラスカル法

1. DE (3)
2. AB (4)
3. BC (12)
4. BE (15)

辺の番号 4

BE

答え

辺 BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms