データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

問題が最適部分構造をもつとはどういう意味ですか？

  1. A最適解を部分問題の最適解から構成できる
  2. B問題を定数時間で解ける
  3. C問題の最適解がちょうど 1 つで、すべての部分問題がそれを共有しているから
  4. Dすべての部分問題が同じサイズである
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

クック－レビンの定理は何を確立しましたか？

  1. Aすべての NP 問題が指数時間で解けること
  2. BP が NP と等しくないこと
  3. Cブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
  4. D停止問題が決定不能であること
3.データ構造ふつう

容量 n の配列に格納された循環キューで、インデックス i の次の位置はどのように計算されますか。

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.データ構造むずかしい

O(1) の追加メモリで、単方向連結リストが閉路を含むかどうかを検出するにはどうすればよいですか。

  1. Aリストをソートして重複を探す
  2. B数がリストの長さのフィールドを超えるまでノードを数える
  3. C一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
  4. D訪問したすべてのノードをハッシュ集合に格納する
5.グラフ理論ふつう

完全グラフ K8 には、異なるハミルトン閉路が何個Hありますか？ 始点や向きだけが異なる閉路は同じものとして数えます。

K8
H =
6.グラフ理論むずかしい
1118651561449ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 6 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: A · 最適解を部分問題の最適解から構成できる

これが答えになる理由

最適部分構造は、貪欲法と動的計画法のどちらが正しい答えを出すためにも必要です。

答え

A · 最適解を部分問題の最適解から構成できる
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること

これが答えになる理由

クックとレビンは独立に、NP のすべての問題が多項式時間で SAT に帰着することを示したので、SAT は最初に知られた NP 完全問題となりました。

答え

C · ブール充足可能性問題（SAT）が NP 完全であること
3.データ構造

答え: C · (i + 1) mod n

これが答えになる理由

剰余演算によりインデックス n − 1 は 0 に戻るので、要素をずらさずに配列を再利用できます。

答え

C · (i + 1) mod n
4.データ構造

答え: C · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる

これが答えになる理由

フロイドのアルゴリズムでは、閉路があれば速いポインタがいずれ遅いポインタに追いつきます。そうでなければ速いポインタは null に到達します。

答え

C · 一方のポインタを 1 歩ずつ、もう一方を 2 歩ずつ進め、出会うかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: H = 2520

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

数える

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答え

H = 2520
6.グラフ理論

答え: D

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): C: 11
2. C (11): B: 12, E: 17, G: 25
3. B (12): D: 20, G: 18
4. E (17): F: 32
5. G (18)
6. D (20)
7. F (32)

ラウンド 6

D

答え

D

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