データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

ボトムアップの表を使って n 番目のフィボナッチ数を計算する時間計算量は何ですか？

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

未ソートの配列から k 番目に小さい要素を選択することについて、正しい記述はどれですか？

  1. A選択にはソートが必要なので、常に Ω(n log n) が必要である
  2. Bクイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
  3. Cクイックセレクトはピボットの片側だけで再帰するので、最悪でも O(log n) で動作する
  4. D選択は O(n²) でしか行えない
3.データ構造ふつう

キー 50, 30, 70, 20, 40 をこの順に空の二分探索木に挿入します。30 の左の子は何ですか。

  1. A40
  2. B50
  3. C70
  4. D20
4.データ構造むずかしい

スプレー木は各アクセスの後に何をしますか。

  1. Aアクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる
  2. B探索経路上のノードの色を塗り替える
  3. Cアクセスしたノードを葉に移す
  4. D木全体を平衡な形に作り直す
5.グラフ理論ふつう

連結グラフに 19 個の頂点と 27 本の辺があります。全域木にするには、辺を何本k取り除く必要がありますか？

|V| = 19|E| = 27
k =
6.グラフ理論むずかしい
11181551121541015ABCDEFG

ダイクストラ法を A から実行します。ラウンド 4 で確定する（永続になる）頂点をクリックしてください。A 自身がラウンド 1 です。

始点：Aラウンド 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: C · O(n)

これが答えになる理由

0 から n まで表を埋めるには項目ごとに 1 回の加算で済むので、作業量は指数ではなく線形になります。

答え

C · O(n)
2.アルゴリズムと計算量

答え: B · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する

これが答えになる理由

ランダムなピボットでは、クイックセレクトの期待作業量は n + n/2 + n/4 + ... = O(n) です。ピボットを中央値の中央値として選ぶと、最悪の場合も線形になります。

答え

B · クイックセレクトは期待 O(n) で動作し、中央値の中央値法は最悪 O(n) を保証する
3.データ構造

答え: D · 20

これが答えになる理由

20 は 50 より小さく 30 より小さいので、30 の左の子になります。40 は 30 の右の子になります。

答え

D · 20
4.データ構造

答え: A · アクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる

これが答えになる理由

スプレー操作は回転によってアクセスしたノードを根に移します。1 回の操作に O(n) かかることもありますが、ならしコストは O(log n) です。

答え

A · アクセスしたノードを根まで回転させて持ち上げる
5.グラフ理論

答え: k = 9

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

全域木の辺

19 − 1 = 18

取り除く辺

k = 27 − 18 = 9

答え

k = 9
6.グラフ理論

答え: E

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

1. A (0): B: 11, C: 1
2. C (1): B: 9, E: 6, G: 5
3. G (5): D: 15
4. E (6): D: 11, F: 8
5. F (8)
6. B (9): D: 10
7. D (10)

ラウンド 4

E

答え

E

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