データ構造とアルゴリズム：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

グラフ理論

握手補題
Σ deg(v) = 2|E|
完全グラフ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正則グラフ
|E| = n·k/2
木と森
|E| = n − 1, |E| = n − c
木の葉
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
オイラー
閉路：すべての次数が偶数； 路：奇数次数がちょうど 2 つ
Kn のハミルトン閉路
(n − 1)!/2
ダイクストラ法の更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
長さ L の歩道
(Mᴸ)ij

解き方

  1. 各頂点の次数を書き出します。次数の総和は辺の数の 2 倍になります。
  2. オイラーの問題では、グラフが連結であることを確かめ、奇数次数の頂点を数えます。
  3. 木では、辺が n − 1 本であることと握手補題を使います。
  4. ダイクストラ法では、暫定距離の表をつくり、毎回、未確定の頂点のうち最小のものを確定します。
  5. 最小全域木では、辺を重みの順に並べ、閉路をつくる辺を飛ばす方法（クラスカル法）か、始点から 1 本の木を成長させる方法（プリム法）を使います。

2演習問題

1.アルゴリズムと計算量ふつう

辺の重みが非負のグラフで、一つの始点からの最短経路を求めるアルゴリズムはどれですか？

  1. AKruskal 法
  2. BDijkstra 法
  3. C深さ優先探索（DFS）
  4. Dどの場合でも Bellman–Ford が必要
2.アルゴリズムと計算量むずかしい

ソート済み配列における比較に基づく探索が、最悪の場合 Ω(log n) 回の比較を必要とするのはなぜですか？

  1. Aすべての要素を少なくとも一度比較しなければならないから
  2. B比較 1 回ごとに対数時間がかかるから
  3. Cn 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
  4. D二分探索が唯一可能なアルゴリズムであり、log₂ n 回の比較が必要だから
3.データ構造ふつう

AVL 木と赤黒木が保証するものは何ですか。

  1. Aキーが挿入順に格納されること
  2. Bどの場合でも定数時間での探索
  3. C再平衡化による O(log n) の高さ
  4. D2 つの子を持つノードが存在しないこと
4.データ構造むずかしい

クラスカルの最小全域木アルゴリズムで、union-find 構造は何に使われますか。

  1. A辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
  2. B開始頂点を選ぶ
  3. C辺を重みの順にソートする
  4. D探索中に、各頂点の始点からの現在の距離を格納する
5.グラフ理論ふつう
ABCDEFオイラー閉路オイラー路あり、閉路なしどちらでもない

この連結グラフには、オイラー閉路、閉路でないオイラー路、またはどちらもないのうち、どれがありますか？ 答えをクリックしてください。

|V| = 6|E| = 9
  1. 1オイラー閉路
  2. 2オイラー路あり、閉路なし
  3. 3どちらでもない
6.グラフ理論むずかしい
1115103988151315ABCDEFG

ダイクストラ法を使って、重み付きグラフで A から F までの最短経路の長さd(F)を求めてください。

始点：A終点：F
d(F) =

3溶液

1.アルゴリズムと計算量

答え: B · Dijkstra 法

これが答えになる理由

Dijkstra 法は非負の重みで動作し、Bellman–Ford は負の重みを扱えます。Kruskal は最小全域木を構築します。

答え

B · Dijkstra 法
2.アルゴリズムと計算量

答え: C · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから

これが答えになる理由

各比較は残りの可能性の集合を高々半分にするだけなので、n 個の位置を区別するには少なくとも log₂ n 回の比較が必要です。

答え

C · n 通りの結果をもつ決定木は、深さが少なくとも log₂ n でなければならないから
3.データ構造

答え: C · 再平衡化による O(log n) の高さ

これが答えになる理由

自己平衡木は高さを対数オーダーに保つため、探索・挿入・削除は最悪の場合でも O(log n) です。

答え

C · 再平衡化による O(log n) の高さ
4.データ構造

答え: A · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる

これが答えになる理由

find で両端点が同じ連結成分にあるかどうかがわかります。同じでなければ辺を加え、union で連結成分を併合します。

答え

A · 辺の両端点がすでにつながっているかどうかを調べる
5.グラフ理論

答え: オイラー路あり、閉路なし

オイラー、ハミルトン、木：連結グラフは、すべての頂点の次数が偶数のときオイラー閉路（すべての辺を 1 回ずつ通って始点に戻る）をもち、ちょうど 2 つの頂点の次数が奇数のとき、閉路でないオイラー路をもちます。その路は、一方の奇数次数の頂点から他方へ通ります。ハミルトン閉路はすべての頂点を 1 回ずつ訪れ、Kn には (n − 1)!/2 個あります。n 個の頂点をもつ木には n − 1 本の辺があり、m 本の辺をもつ連結グラフは、m − n + 1 本の辺を取り除いても全域木が残ります。

次数

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇数次数の頂点

C, D → 2
オイラー路あり、閉路なし

答え

オイラー路あり、閉路なし

オイラー路は、一方の奇数次数の頂点から始まり、他方で終わります。

6.グラフ理論

答え: d(F) = 22

最短経路と全域木：ダイクストラ法は毎ラウンド 1 つの頂点を確定します：暫定距離が最小の未確定の頂点です。その距離は最終となり、各隣接頂点 v は d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) と更新されます。クラスカル法は、辺を軽い順に取り、閉路をつくる辺を飛ばして最小全域木をつくります。プリム法は、始点から 1 本の木を成長させ、その木から出る最も軽い辺を常に加えます。n 個の頂点の全域木には n − 1 本の辺があります。

ダイクストラ法をラウンドごとに

各行：確定した頂点、その最終距離、距離が改善される隣接頂点。

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 14, G: 24
D (14): E: 22, F: 22
C (15)
E (22)
F (22)
G (24)

最短経路

A → B → D → F
d(F) = 22

答え

d(F) = 22

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